1.引言

FMCW雷达信号处理建模与仿真，是诸多初学者在研究雷达的过程中一定会遇到的问题，很多初学者甚至不知道如何下手，因此调皮哥针对这个问题，给大家整理了本期文章。本文将带领大家学会如何基于FMCW进行雷达信号处理建模仿真，并结合雷达信号处理理论与MATLAB编程实践学习，从发射信号开始，到回波信号、距离维FFT、速度维FFT以及CFAR检测等内容，文章提供了对应的MATLAB代码帮助大家学习仿真，其中CFAR部分放在下期文章详细分析。

调皮哥之前写过《调皮连续波：雷达原理 | 用MATLAB信号处理是如何解算目标的距离和速度信息的？》一文，但是太过于理论，并没有从雷达的根源角度系统性地介绍雷达的基本原理，因此本期文章将结合该文更加系统地介绍，能够帮助大家形成知识体系。

2.发射信号模型

一般情况下，雷达发射信号的模型可采用线性调频连续波（LFMCW） ，发射波形的信号形式为调频连续锯齿波。线性调频的含义即调制信号频率随时间线性变化，从时域上看是一个频率随时间线性变化的波形；从频域上看， 发射信号的频率与时间成正比， 如图1所示。

图1 线性调频连续波（LFMCW）

理论上，发射信号的模型可以用公式（1）表示： 其中A是发射信号幅度，发射的chirp信号扫频带宽为 B，发射时宽为T，即调频斜率为 B/T，记为S 。所以，单周期的 FMCW 雷达发射信号模型的相位可以写成公式（2）：

 所谓单周期，即只有一个chirp扫频信号。但是一般我们研究FMCW雷达信号处理，需要多周期（如128个）的chirp信号，这是因为我们需要利用多个chirp来测量目标的速度。

通常，各种文献资料对于雷达发射信号的表示方法有两种，一种是实数信号表示形式，如本文所用的。另一种是复数信号表示形式，如公式（3）所示：

但是由于我们在发射信号是，只有实数信号，而并非复数信号，只是在后续的ADC芯片中采用正交采样时，才把信号变为复信号。需要注意的是，这两种表达方式都是正确的，只是在后续的处理过程中，有一些不同。本文仍旧采用传统的实数信号表达方式。

在仿真MATLAB代码中发射信号的理想模型表示为：

发射信号时域图如图2所示：

图2 发射信号时域图

发射信号时频图如图3所示：

图3 发射信号时频图

在MATLAB代码中设置雷达的参数和目标的参数，便于我们进行建模仿真实验。具体参数如下所示：

假设静止的目标距离雷达的距离为R，电磁波在空气中传输速度为c，则接受天线接受到的信号比发射的信号延迟τ=2R/c，所以理想情况下接受天线接收到的目标回波信号模型如公式（4）所示：

由上述公式可知，回波信号具有和发射信号同样的信号形式，相对于发射信号在时间上有固定延时τ，故而回波信号的相位可以表式为公式（5）：

在MATLAB中接收信号（雷达的回波信号）表示为：

接收信号的时域图如图4所示：

图4 接收信号的时域图

接收信号与发射信号的时频图如图5所示：

图5 接收信号与发射信号的时频图

将接收到回波信号Sr(t)和发射信号St(t)进行混频，并经过低通滤波器后就可以得到一个单一频率的正弦波信号，如图中黑色的“IF signal”便是中频信号的频率，如图6和图7所示。

图6 混频乘法器

图7 中频信号模型

根据公式推导，当在静止目标下时， 可以得到差频信号的相位表达式为公式（6）：

此时可以很明显地看出，发射信号和单目标的回波信号的频率差为一个单频信号。根据公式（6），可以得到中频信号频率  ，如公式（7）所示：  

对中频信号进行 ADC 采样， 然后做 FFT 提取信号的频率信息， 假设 FFT 得到频谱的谱峰值对应的频率为fm ， 则目标的距离信息可以表示为公式（8）：

 4.2 运动目标情况下测距

假设，在电磁波的覆盖区域中，存在某一目标在  时刻距离发射天线为  ，以径向速度  远离雷达，以远离天线为正方向，至于为什么可看文章（《调皮连续波：雷达原理 | 讨论调频连续波雷达目标运动方向与速度正负的关系？》）

那么接收到目标的回波信号模型公式依旧与单目标一致，如公式（9）所示。

但是，τ有所改变，如公式（10）所示：

 此时，通过混频后得到中频信号的相位如下所示：

 很显然，根据上述公式可知，对于运动目标的信号的中频信号依然是一个近似线性调频信号。所以设中频信号的调频斜率Um，载频fm，初相ϕm分别如下：

因为光速c等于3*10^8m/s，所以忽略c的平方项，则中频信号的时宽带宽积Dm为:

其中，Bm中频信号的调频带宽，为D为发射信号时宽带宽积。上述公式可以表明，即使目标在几百米每秒的高速运动情况下，中频信号的时宽带宽积仅有原来的10^-6 倍，在毫米波雷达发射极大时宽带宽积（10^6）的信号情况下，中频信号Dm的数量级也只有10^0 。因此，可近似认为回波差拍信号是一单频信号，通过频谱分析（FFT）即能得到其中心频率。所以也可以将中频信号近似地写成公式（11）：

注意：公式（11）是近似值，忽略了多普勒频移的影响，其中R为目标距离，  ，  。

近似中频信号公式忽略中频信号的频率与物体速度的依赖关系。在快速 FMCW 雷达中，其影响通常非常小，且在处理完成多普勒 （速度维）FFT 后，即可轻松对其进行进一步校正，这就是多普勒相位补偿。

混频过程在MATLAB中可以表示为：

混频后的信号频图，为实信号做傅里叶变换，如图8所示：

图8 中频信号频谱（实信号）

此时要注意，本文采用“数字信号的形式”来模拟发射信号与回波信号，实际上是不会通过这种方式实现的，发射信号和回波信号都是模拟信号。因此在本文中，混频之后得到的中频信号只有单一的频谱，即只保留了混频乘法器积化和差公式后的“差频”信号，“和频”信号由于MATLAB采用数字信号的形式导致采样率过低，N/Tchirp=1024/Tchirp=139MHz，对“和频信号”相当于欠采样，因此并不会保留高频信号，只保留目标的最大中频信号（27.27MHz），从而MATLAB自身形成一个低通（或带通）滤波器。

如果读者想要看到“和频”信号，则可以通过增加发射信号点数的点数，相当于增加采样率的形式来观察，但由于数据量很大，雷达载波也很高，因此不建议大家尝试。调皮哥给大家尝试了，在MATLAB代码中约为35GHz，离77GHz还很远，相当于欠采样，但还可以采集到的部分高频信号。如图9中所示，类似于门函数的频带就是和频信号。

图9 中频信号（差频以及和频）

5.低通（带通滤波）

本文的FMCW雷达信号处理建模仿真，由于MATLAB采样点数问题，低通滤波器相当于自带。如若按照增加采样点数的方式来实现低通滤波器的模拟，则可以实现如图10~12所示。

图10 滤波后结果

图11 低通滤波幅频响应

图12 低通滤波结果

放大后保留的频率如图13所示：

图13 低通滤波结果（放大效果）

6.正交采样（IQ复采样）

本文暂采用实数信号进行分析，因此暂不对实信号进行正交采样，后续有时间更新在进行处理。

假设单个扫描周期 ADC采样点数为 1024， 采样频率为Fs=139MHz， 式中 n 为 FFT 谱峰对应的频点(Index）， 根据 T、 Fs、 N 之间的关系，距离与频率关系的公式可进一步化简为：

其中，请注意，因为上述的采样点刚好是2的次幂，因此，计算之后系数K刚好为1，假如采样点数不是2的次幂，如200个点，然后进行256个点的FFT，那么K值就不能等于1。

将中频信号按照距离门点数、chirp脉冲数排列为二维矩阵，其时域谱如图14所示。

图14 距离门点数、chirp脉冲数排列为二维矩阵（时域）

第一个chirp脉冲的距离维FFT结果，实信号FFT后频谱对称，只保留一半的频谱，即512个点，如图15所示。

图15 第一个chirp脉冲的距离维FFT结果

距离维FFT结果谱矩阵，如图16所示。

图16 距离维FFT结果

在MATLAB中，对于距离维做FFT，目的就是找出中频频率峰值和频点，然后根据峰值所在的距离门号，解算出目标的距离。

如本文的距离门号为91，距离分辨率为1米，则真实距离为：（91-1）*1=90米，符合预先设定的目标参数值。

对于两个相邻周期的信号，由于周期间隔时间Tc较短，距离分辨率有限，两个周期内距离维FFT谱中的峰值位置几乎没有发生变化，但是由于相位比距离更加敏感，即周期间微小的距离变化会引起中频信号的初相的变化。由傅里叶变换特性，信号的初相体现在峰值处的复数值对应的相位，计算相邻周期的相位差，即可得到目标的速度：

其中，两个脉冲相邻的微小距离变化为v*Tc，所以推导出两个脉冲间的速度为： 推广到多个脉冲，如128个，那么相位的变化是呈周期性的，速度维度做128点FFT后的峰值就是相位差，即获取速度对应的峰值和频点再通过解算便可获得目标的速度，这个过程就是速度维FFT。接下来进行速度解算。上述公式经过推导可以变为：

其中，相位的最大值为2π。由此，速度的解算依赖于速度分辨率和速度门号，速度门号即为速度维FFT之后拿到的峰值所对应的下标（相位变化的频点）。

其中，请注意，因为上述的采样点刚好是2的次幂，因此，计算之后系数k刚好为1，假如采样点数不是2的次幂，如200个点，然后进行256个点的速度维FFT，那么K值就不能等于1。

在MATLAB中的解算过程为：

速度维FFT的结果如图17所示：（订：图中速度维和距离维写反，注意辨别）

图17 速度维FFT结果

如本文的多普勒门号为10，速度分辨率为 vres= 1.1163m/s，则真实距离为：（10-1）* 1.1163=10.04m/s，符合预先设定的目标参数值，其中这里的速度分辨率vres是由雷达工程师自主设定的，在FMCW雷达中可以增加调频连续波的空闲时间来增加速度分辨率，但要注意与最大不模糊速度保持平衡。